異質性（Heteroskedasticity）在迴歸分析中的影響

異質性（Heteroskedasticity）是迴歸分析中常見的問題之一，會影響統計推斷的有效性。當迴歸模型中的誤差項（殘差）的變異數在不同觀測值之間不一致時，就會出現異質性。這種現象違反了普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）的關鍵假設之一，即誤差項的變異數應保持恆定（同質性）。

什麼是異質性？

“異質性”一詞源自希臘語，意為“不同的分散”。在迴歸分析中，它指的是殘差的變異性在不同自變數水平之間不一致。例如，在基於收入預測家庭支出的模型中，低收入家庭的支出變化可能較小，而高收入家庭的支出模式則更為多樣化。

為什麼異質性很重要？

雖然異質性不會使 OLS 係數估計值產生偏誤，但它會影響這些估計值的效率，並導致標準誤的偏誤。這具有以下幾個重要影響：

• 膨脹的 t 統計量：偏誤的標準誤可能導致錯誤的假設檢驗結果，增加偽陽性（第一類錯誤）的風險。
• 估計效率降低：在存在異質性的情況下，OLS 不再是最佳線性無偏估計量（BLUE）。
• 誤導性的信賴區間：由於標準誤偏誤，信賴區間可能過窄或過寬。

診斷異質性

檢測異質性通常包括視覺檢查和正式統計檢驗：

1. 殘差圖

• 將殘差與擬合值或自變數作圖。
• 如果殘差呈現系統性的模式，例如漏斗形狀（某端較窄而另一端較寬），則表明存在異質性。

2. 正式檢驗

• Breusch-Pagan 檢驗：將平方殘差對解釋變數進行迴歸，以測試是否存在線性相關。
• White 檢驗：更通用的一種檢驗方法，不假設特定形式的異質性。

解決異質性的辦法

如果檢測到異質性，需要採取措施以確保統計推斷的有效性。以下是幾種常見的方法：

1. 穩健標準誤

• 又稱為異質性一致標準誤（例如 White 標準誤）。
• 這種方法調整了標準誤以考慮異質性的影響，而不改變原始 OLS 的係數估計。

2. 加權最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）

• 根據觀測值的變異數大小分配權重，權重與變異數成反比。
• 當已知或可以估計出異質性的模式時，此方法非常有效。

3. 數據轉換

• 對數據進行轉換，例如取對數或平方根，以穩定變異數。
• 例如，對因變數取對數通常可以減少異質性。

4. 廣義最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）

• 一種更高級的方法，通過建模誤差協方差結構來提供更高效的估計。
• 當未知但可以估計出異質性的具體形式時，可以使用可行廣義最小二乘法（Feasible GLS, FGLS）。

實際範例

• 收入與消費：隨著收入增加，消費的變化幅度也會增加，高收入人群的消費習慣更加多樣化。
• 市場波動：由於市場活動水平隨時間波動，金融數據通常表現出異質性。

結論

異質性是迴歸分析中的一個關鍵問題，如果忽視它，可能會損害統計結果的可靠性。雖然它不會使係數估計值產生偏誤，但會導致效率降低並使假設檢驗無效。通過採用穩健標準誤、加權迴歸或數據轉換等方法來處理異質性，可以確保結果更加準確和可靠。

對於金融、經濟學和社會科學等領域來說，由於數據變化幅度常見，因此理解和修正異質性是建立穩健經濟計量模型的重要步驟。